Question

Los enteros positivos $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ What is the minimum possible value of $x + y?$

$585$

$595$

$623$

$700$

$791$

Respuesta: B

Conceptos:radical factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Como $1183 = 7 \cdot 13^2,$ tenemos $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Al elevar al cuadrado la ecuación dada, se ve que $\sqrt{xy}$ es racional. Por tanto, $x$ y $y$ tienen la misma parte libre de cuadrados: escribimos $x=da^2$ y $y=db^2,$ donde $d$ es libre de cuadrados y $a,b$ son enteros positivos. Entonces $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ así que $d=7$ y $a+b=13.$ Por consiguiente, $x+y=7(a^2+b^2),$ que es mínimo cuando $a$ y $b$ son lo más cercanos posible. Tomando $a=6$ y $b=7$ , obtenemos $x+y=7(36+49)=595.$ Así, B es la respuesta correcta.

Since $1183 = 7 \cdot 13^2,$ we have $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Squaring the given equation shows that $\sqrt{xy}$ is rational. Thus $x$ and $y$ have the same squarefree part: write $x=da^2$ and $y=db^2,$ where $d$ is squarefree and $a,b$ are positive integers. Then $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ so $d=7$ and $a+b=13.$ Therefore $x+y=7(a^2+b^2),$ which is smallest when $a$ and $b$ are as close as possible. Taking $a=6$ and $b=7$ gives $x+y=7(36+49)=595.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

El Problema 13 en otros años