Question

Todos los rectángulos de la figura de abajo, que está dibujada a escala, son semejantes al rectángulo que los contiene. Cada número representa el área del rectángulo. ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

All of the rectangles in the figure below, which is drawn to scale, are similar to the enclosing rectangle. Each number represents the area of the rectangle. What is length $AB?$

$4 + 4\sqrt5$

$10\sqrt2$

$5 + 5\sqrt5$

$10\sqrt[4]{8}$

$20$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza razón de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Las áreas de las once piezas suman $200.$ Sea $h$ la altura del rectángulo que las contiene y sea $w=AB.$ Las longitudes correspondientes de figuras semejantes están en la razón de las raíces cuadradas de sus áreas. En el diagrama, la pieza de área $32$ aporta su lado corto al borde izquierdo, cuya longitud es $h\sqrt{32/200}=\tfrac25h.$ Encima de ella, la pieza de área $36$ aporta su lado largo, cuya longitud es $w\sqrt{36/200}=\tfrac{3\sqrt2}{10}w.$ Estos dos segmentos forman la altura completa, así que $h=\tfrac25h+\tfrac{3\sqrt2}{10}w,$ lo cual se simplifica a $h=w/\sqrt2.$ Como $wh=200,$ obtenemos $w^2/\sqrt2=200$ y $w=\sqrt{200\sqrt2}=10\sqrt[4]{8}.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

The areas of the eleven pieces sum to $200.$ Let the enclosing rectangle have height $h$ and width $w=AB.$ Similar figures have corresponding side lengths in the square-root ratio of their areas. From the diagram, the area- $32$ piece contributes its short side to the left edge, of length $h\sqrt{32/200}=\tfrac25h.$ Above it, the area- $36$ piece contributes its long side, of length $w\sqrt{36/200}=\tfrac{3\sqrt2}{10}w.$ These two segments make the full height, so $h=\tfrac25h+\tfrac{3\sqrt2}{10}w,$ which simplifies to $h=w/\sqrt2.$ Since $wh=200,$ we get $w^2/\sqrt2=200$ and $w=\sqrt{200\sqrt2}=10\sqrt[4]{8}.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

El Problema 16 en otros años