Question

Las raíces del polinomio $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en $2$ unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$ units. What is the volume of the new box?

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{42}{5}$

$\dfrac{81}{5}$

$30$

$48$

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio volumen

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Sean $h, l,$ y $w$ las dimensiones de la caja original. Entonces el volumen de la nueva caja es Desarrollando, obtenemos Podemos usar las fórmulas de Vieta para hallar los términos de esta expresión. Obtenemos que y $(h + 2)(l + 2)(w + 2).$ $hlw + 2(hl + hw + lw)$ $+ 4(l + h + w) + 8.$ $hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},$ $hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},$ $l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.$

Sustituyendo estos valores en la expresión, obtenemos $\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $h, l,$ and $w$ be the dimensions of the old box. Then the volume of the new box is $(h + 2)(l + 2)(w + 2).$ Expanding, we get $hlw + 2(hl + hw + lw)$ $+ 4(l + h + w) + 8.$ We can use Vieta's formulas to find the terms in this expression. We get that $hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},$ $hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},$ and $l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.$

Plugging these values into the expression, we get $\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.$

Thus, D is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

El Problema 16 en otros años