2021 AMC 10A Fall Problema 12

Question

La representación en base nueve del número

N

es

27{,}006{,}000{,}052_9.

¿Cuál es el residuo cuando

N

se divide entre

5

?

The base-nine representation of the number

N

is

27{,}006{,}000{,}052_9.

What is the remainder when

N

is divided by

5?

0

1

2

3

4

Trabaja módulo

5,

donde

9\equiv -1

.

Work modulo

5,

where

9\equiv -1

Solo los dígitos no nulos en base nueve contribuyen.

Only the nonzero base-nine digits contribute

Nota que

9 \equiv -1 \pmod{5}.

Entonces, si desarrollamos

N

usando la definición de las bases, obtenemos

N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +

5 \cdot 9 + 2

\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +

5 (-1) + 2 \pmod{5}

\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}

\equiv 3 \pmod{5}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that

9 \equiv -1 \pmod{5}.

Then if expand

N

using the definition of bases, we get

N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +

5 \cdot 9 + 2

\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +

5 (-1) + 2 \pmod{5}

\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}

\equiv 3 \pmod{5}.

Thus, D is the correct answer.

El Problema 12 en otros años