Question

Sea $n$ el menor entero positivo mayor que $1000$ para el cual y ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ? $\begin{gathered} \gcd(63,n+120)=21\\ \text{and}\\ \gcd(n+63,120)=60. \end{gathered}$

Let $n$ be the least positive integer greater than $1000$ for which $\begin{gathered} \gcd(63,n+120)=21\\ \text{and}\\ \gcd(n+63,120)=60. \end{gathered}$ What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:máximo común divisor Teorema chino del resto aritmética modular

Nivel de dificultad: 1820

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

La primera condición de mcd da $n+120\equiv0\pmod{21}$ , así que $n\equiv6\pmod{21}$ , pero $n+120$ no debe ser divisible entre $63$ . La segunda da $n+63\equiv0\pmod{60}$ , así que $n\equiv57\pmod{60}$ , pero $n+63$ no debe ser divisible entre $120$ .

Al resolver $n\equiv6\pmod{21}$ y $n\equiv57\pmod{60}$ se obtiene $n\equiv237\pmod{420}$ . Los candidatos mayores que $1000$ son $1077,1497,1917,\ldots$ . El primero no cumple la primera condición de mcd, el segundo no cumple la segunda, y $1917$ sí funciona. La suma de los dígitos es $18$ . Así, C es la respuesta correcta.

The first gcd condition gives $n+120\equiv0\pmod{21}$ , so $n\equiv6\pmod{21}$ , but $n+120$ must not be divisible by $63$ . The second gives $n+63\equiv0\pmod{60}$ , so $n\equiv57\pmod{60}$ , but $n+63$ must not be divisible by $120$ .

Solving $n\equiv6\pmod{21}$ and $n\equiv57\pmod{60}$ gives $n\equiv237\pmod{420}$ . The candidates above $1000$ are $1077,1497,1917,\ldots$ . The first fails the first gcd condition, the second fails the second gcd condition, and $1917$ works. The digit sum is $18$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1820

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 24 en otros años