Question

El triángulo rectángulo $ABC$ tiene catetos de longitudes $AB=20$ y $BC=21.$ Incluyendo $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ ¿cuántos segmentos de longitud entera pueden trazarse desde el vértice $B$ hasta un punto de la hipotenusa $\overline{AC}$ ?

Right triangle $ABC$ has leg lengths $AB=20$ and $BC=21.$ Including $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ how many line segments with integer length can be drawn from vertex $B$ to a point on hypotenuse $\overline{AC}?$

$5$

$8$

$12$

$13$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo altura conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Sea $P$ el pie de la altura desde $B$ hasta $\overline{AC}.$ El teorema de Pitágoras da $AC=29.$ Al calcular el área de dos maneras, obtenemos $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ así que $PB=\dfrac{420}{29},$ que está entre $14$ y $15.$

Cuando el extremo se mueve de $A$ a $P,$ su distancia a $B$ disminuye continuamente de $20$ a $PB.$ Por tanto, hay un segmento de cada longitud entera $15,16,17,18,19,20.$ Cuando el extremo se mueve de $P$ a $C,$ la distancia aumenta continuamente de $PB$ a $21,$ lo que da un segmento de cada longitud entera $15,16,17,18,19,20,21.$ Estos son $6+7=13$ segmentos distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $P$ be the foot of the altitude from $B$ to $\overline{AC}.$ The Pythagorean Theorem gives $AC=29.$ Computing the area in two ways gives $\dfrac{29\cdot PB}{2}=\dfrac{20\cdot21}{2},$ so $PB=\dfrac{420}{29},$ which lies between $14$ and $15.$

As the endpoint moves from $A$ to $P,$ its distance from $B$ decreases continuously from $20$ to $PB.$ Thus there is one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20.$ As the endpoint moves from $P$ to $C,$ the distance increases continuously from $PB$ to $21,$ giving one segment of each integer length $15,16,17,18,19,20,21.$ These are $6+7=13$ distinct segments.

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 16 en otros años