2017 AMC 10A Problema 17

Question

Los puntos distintos

P,

Q,

R,

S

están sobre la circunferencia

x^{2}+y^{2}=25

y tienen coordenadas enteras. Las distancias

PQ

y

RS

son números irracionales.

¿Cuál es el mayor valor posible de la razón

\dfrac{PQ}{RS}

?

Distinct points

P,

Q,

R,

S

lie on the circle

x^{2}+y^{2}=25

and have integer coordinates. The distances

PQ

and

RS

are irrational numbers.

What is the greatest possible value of the ratio

\dfrac{PQ}{RS}?

3

5

3\sqrt{5}

7

5\sqrt{2}

Respuesta: D

Conceptos:punto reticular círculo fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Enumera los puntos reticulares sobre la circunferencia.

List the lattice points on the circle

Pista grande:

Maximiza una distancia irracional y minimiza otra distancia irracional.

Maximize one irrational distance and minimize another irrational distance

Solución:

Los puntos de coordenadas enteras sobre

x^2+y^2=25

son

(\pm5,0)

,

(0,\pm5)

,

(\pm3,\pm4)

y

(\pm4,\pm3)

.

Para que

PQ

y

RS

sean irracionales, la distancia al cuadrado no debe ser un cuadrado perfecto. Para maximizar la razón, haz que

PQ

sea lo más grande posible y

RS

lo más pequeño posible bajo esa condición.

La mayor distancia irracional posible es entre

(-4,3)

y

(3,-4)

, lo que da

PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}

. La menor distancia irracional posible es entre

(3,4)

y

(4,3)

, lo que da

RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2

.

La mayor razón posible es

\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7

. Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The integer-coordinate points on

x^2+y^2=25

are

(\pm5,0)

,

(0,\pm5)

,

(\pm3,\pm4)

, and

(\pm4,\pm3)

.

For

PQ

and

RS

to be irrational, the squared distance must not be a perfect square. To maximize the ratio, make

PQ

as large as possible and

RS

as small as possible under that condition.

The largest possible irrational distance is between

(-4,3)

and

(3,-4)

, giving

PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}

. The smallest possible irrational distance is between

(3,4)

and

(4,3)