Question

Laura sumó dos enteros positivos de tres dígitos. Los seis dígitos de estos números son todos distintos. La suma de Laura es un número de tres dígitos $S.$ ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de los dígitos de $S$ ?

Laura added two three-digit positive integers. All six digits in these numbers are different. Laura's sum is a three-digit number $S.$ What is the smallest possible value for the sum of the digits of $S?$

$\ 1$

$\ 4$

$\ 5$

$\ 15$

$\ 21$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos argumento extremal

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Para minimizar la suma de los sumandos, usamos las dos menores cifras no nulas en las centenas, $1$ y $2$ , y luego las cuatro menores cifras restantes, $0,3,4,5$ . Colocar las cifras menores en las decenas muestra que toda suma posible es al menos $104+235=339$ . Por otra parte, todo número de tres cifras con suma de cifras menor que $4$ es como máximo $300$ . Por tanto, la suma de las cifras de $S$ es al menos $4$ .

El ejemplo $157+243=400$ usa seis cifras distintas y tiene suma de cifras $4$ . Así, la menor suma de cifras posible es $4$ .

Por tanto, la respuesta correcta es B.

To minimize the sum of the addends, use the two smallest nonzero hundreds digits, $1$ and $2$ , and then the four smallest remaining digits, $0,3,4,5$ . Placing the smaller digits in the tens places shows that every possible sum is at least $104+235=339$ . On the other hand, any three-digit number with digit sum less than $4$ is at most $300$ . Therefore the digit sum of $S$ is at least $4$ .

The example $157+243=400$ uses six distinct digits and has digit sum $4$ . Thus the smallest possible digit sum is $4$ .

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 10B Problema 6

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Solución:

El Problema 6 en otros años