2015 AMC 10A Problema 12

Question

Los puntos

(\sqrt{\pi}, a)

y

(\sqrt{\pi}, b)

son puntos distintos de la gráfica de la ecuación

y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.

¿Cuál es el valor de

|a-b|

?

Points

(\sqrt{\pi}, a)

and

(\sqrt{\pi}, b)

are distinct points on the graph of

y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.

What is

|a-b|?

1

\dfrac{\pi}{2}

2

\sqrt{1+\pi}

1 + \sqrt{\pi}

Respuesta: C

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sustituye

x=\sqrt{\pi}

y completa un cuadrado en

y

.

Substitute

x=\sqrt{\pi}

and complete a square in

y

Pista grande:

Los dos valores de

y

son simétricos respecto a

\pi

.

The two

y

-values are symmetric around

\pi

Solución:

Sustituye

x=\sqrt{\pi}

. Entonces

x^2=\pi

y

x^4=\pi^2

, así que la ecuación se convierte en

y^2-2\pi y+\pi^2=1.

Por lo tanto

(y-\pi)^2=1

, lo que da los dos valores posibles

y=\pi+1

y

y=\pi-1

. Su distancia es

2

.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Substitute

x=\sqrt{\pi}

. Then

x^2=\pi

and

x^4=\pi^2

, so the equation becomes

y^2-2\pi y+\pi^2=1.

Hence

(y-\pi)^2=1

, giving the two possible values

y=\pi+1

and

y=\pi-1

. Their distance is

2

.

Thus, C is the correct answer.