Question

Kiana tiene dos hermanos gemelos mayores. El producto de sus tres edades es $128.$ ¿Cuál es la suma de sus tres edades?

Kiana has two older twin brothers. The product of their three ages is $128.$ What is the sum of their three ages?

$10$

$12$

$16$

$18$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos potencia de 2 edades

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Como $128=2^7,$ cada edad es una potencia de $2.$ Si $t$ es la edad común de los gemelos y $k,$ la edad de Kiana, necesitamos $t^2k=128$ con $k\lt t.$

Escribamos $t=2^j.$ Entonces $k=2^{7-2j}.$ Para que $k$ sea una edad entera positiva, se requiere $7-2j\ge0,$ así que $j\le3.$ Como Kiana es menor que los gemelos, $7-2j\lt j,$ y por ello $j\ge3.$ Por lo tanto, $j=3,$ lo que da $t=8$ y $k=2.$ La suma es $8+8+2=18.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $128=2^7,$ every age is a power of $2.$ Writing the twins' common age as $t$ and Kiana's as $k,$ we need $t^2k=128$ with $k\lt t.$

Write $t=2^j.$ Then $k=2^{7-2j}.$ For $k$ to be a positive integer age we need $7-2j\ge0,$ so $j\le3.$ Because Kiana is younger than the twins, $7-2j\lt j,$ so $j\ge3.$ Therefore $j=3,$ giving $t=8$ and $k=2.$ The sum is $8+8+2=18.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Solución:

El Problema 6 en otros años