2009 AMC 10A Problema 13

Question

Supongamos que

P = 2^m

y

Q = 3^n.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

12^{mn}

para todo par de enteros

(m, n)

?

Suppose that

P = 2^m

and

Q = 3^n.

Which of the following is equal to

12^{mn}

for every pair of integers

(m, n)?

P^2 Q

P^n Q^m

P^n Q^{2m}

P^{2m} Q^n

P^{2n} Q^m

Escribe

12 = 2^2 \cdot 3

y elévalo a la potencia

mn

.

Write

12 = 2^2 \cdot 3

and raise it to the power

mn

Reagrupa

2^{2mn} \cdot 3^{mn}

usando

P = 2^m

y

Q = 3^n

.

Regroup

2^{2mn} \cdot 3^{mn}

using

P = 2^m

and

Q = 3^n

Como

12 = 2^2 \cdot 3

,

\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es E.

Since

12 = 2^2 \cdot 3,

\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

El Problema 13 en otros años