Question

¿Para cuál de los siguientes valores de $k$ la ecuación no tiene solución para $x$ ? $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$

For which of the following values of $k$ does the equation $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$ have no solution for $x?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación racional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Al multiplicar en cruz se obtiene $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ que se desarrolla como $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Al cancelar $x^2$ queda $(k - 5)x = 2k - 6.$ Para cada valor indicado $k=1,2,3,4,$ se obtiene un valor válido de $x$ que no es ninguno de los valores excluidos del denominador, $2$ ni $6.$ Para $k=5,$ la ecuación se convierte en $0\cdot x=4,$ que no tiene solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Cross multiplying gives $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ which expands to $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Cancelling $x^2$ leaves $(k - 5)x = 2k - 6.$ For each listed value $k=1,2,3,4,$ this gives a valid value of $x$ that is neither excluded denominator value $2$ nor $6.$ For $k=5,$ the equation instead becomes $0\cdot x=4,$ which has no solution.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B Problema 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Problema 12 en otros años