2025 AMC 12B 第 4 题

Question

以七为底的两位数

\underline{a}\,\underline{b}

的值等于以九为底的两位数

\underline{b}\,\underline{a}

的值。

a + b

是多少？

The value of the two-digit number

\underline{a}\,\underline{b}

in base seven equals the value of the two-digit number

\underline{b}\,\underline{a}

in base nine. What is

a + b?

7

9

10

11

14

答案：A

知识点：进制一次方程

难度评级：1200

小提示：

按位值计算，以七为底的

\underline{a}\,\underline{b}

是

7a + b

，以九为底的

\underline{b}\,\underline{a}

是

9b + a

。

Write each number in terms of its base:

\underline{a}\,\underline{b}

is

7a + b

and

\underline{b}\,\underline{a}

is

9b + a

大提示：

令

7a + b = 9b + a

，再化简得到

a

与

b

的比例关系。

Set

7a + b = 9b + a

and simplify to a ratio between

a

and

b

解答：

令

7a + b = 9b + a

，得到

6a = 8b

，所以

3a = 4b

。因而

a=4t

且

b=3t

。因为两者都是七进制数字并且

a\ne0

，只有

t=1

可行。因此

a=4, b=3

，而且确实有

43_7 = 31 = 34_9

。所以

a+b=7

。

因此，正确答案是 A。

Setting

7a + b = 9b + a

gives

6a = 8b,

so

3a = 4b.

Thus

a=4t

and

b=3t.

Because both are base-seven digits and

a\ne0,

only

t=1

works. Hence

a=4, b=3,

and indeed

43_7 = 31 = 34_9.

Therefore

a+b=7.

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12B 第 4 题

答案：A

难度评级：1200

小提示：

大提示：

解答：

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