Question

以七为底的两位数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 的值等于以九为底的两位数 $\underline{b}\,\underline{a}$ 的值。 $a + b$ 是多少？

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

答案：A

知识点：进制一次方程

难度评级：1200

解答：

令 $7a + b = 9b + a$ ，得到 $6a = 8b,$ 所以 $3a = 4b.$ 因而 $a=4t$ 且 $b=3t.$ 因为两者都是七进制数字并且 $a\ne0,$ 只有 $t=1$ 可行。因此 $a=4, b=3,$ 而且确实有 $43_7 = 31 = 34_9.$ 所以 $a+b=7.$

因此，正确答案是 A。

Setting $7a + b = 9b + a$ gives $6a = 8b,$ so $3a = 4b.$ Thus $a=4t$ and $b=3t.$ Because both are base-seven digits and $a\ne0,$ only $t=1$ works. Hence $a=4, b=3,$ and indeed $43_7 = 31 = 34_9.$ Therefore $a+b=7.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12B 第 4 题

答案：A

难度评级：1200

解答：

其他年份的第 4 题