1999 AMC 12 第 28 题

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28.

设

x_1

，

x_2

，

\ldots

，

x_n

是一个整数序列，满足：

(i)

-1 \le x_i \le 2

，其中

i = 1

，

2

，

3

，

\ldots

，

n

；

(ii)

x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19

；

(iii)

x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99

。

令

m

和

M

分别为

x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3

的最小和最大可能值。求

\dfrac{M}{m}

。

Let

x_1,

x_2,

\ldots,

x_n

be a sequence of integers such that

(i)

-1 \le x_i \le 2,

for

i = 1,

2,

3,

\ldots,

n

;

(ii)

x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19;

and

(iii)

x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.

Let

m

and

M

be the minimal and maximal possible values of

x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3,

respectively. What is

\dfrac{M}{m}?

3

4

5

6

7

答案：E

知识点：方程组最优化

难度评级：2240

小提示：

令

a, b, c

分别表示

-1

、

1

、

2

的个数，零不影响总和。

Let

a, b, c

count the

-1

s,

1

s, and

2

s (zeros do not matter)

大提示：

立方和为

-a + b + 8c = 19 + 6c

；对允许的

c

范围取极值。

The sum of cubes is

-a + b + 8c = 19 + 6c;

optimize over the allowed range of

c

解答：

设

a, b, c

分别为

-1

、

1

、

2

的个数。则

-a + b + 2c = 19

，且

a + b + 4c = 99

，解得

a = 40 - c

、

b = 59 - 3c

，并且

0 \le c \le 19

。

立方和为

-a + b + 8c = 19 + 6c

。最小值在

c = 0

时为

19

，最大值在

c = 19

时为

133

。因此

\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7

。

所以正确答案是 E。

Let

a, b, c

be the numbers of

-1

s,

1

s, and

2

s. Then

-a + b + 2c = 19

and

a + b + 4c = 99,

giving

a = 40 - c

and

b = 59 - 3c

with

0 \le c \le 19.

The sum of cubes is

-a + b + 8c = 19 + 6c.

The minimum is at

c = 0

(value

19

) and the maximum at

c = 19

(value

133

), so

\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.

Thus, the correct answer is E.