2025 AMC 10B Problema 18

Question

¿Cuál es el dígito de las unidades de la suma

\lfloor\sqrt{1}\rfloor + \lfloor\sqrt{2}\rfloor + \lfloor\sqrt{3}\rfloor

+ \cdots + \lfloor\sqrt{2024}\rfloor

+ \lfloor\sqrt{2025}\rfloor

? (Recuerda que

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero menor o igual que

x.

)

What is the ones digit of the sum

\lfloor\sqrt{1}\rfloor + \lfloor\sqrt{2}\rfloor + \lfloor\sqrt{3}\rfloor

+ \cdots + \lfloor\sqrt{2024}\rfloor

+ \lfloor\sqrt{2025}\rfloor?

(Recall that

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to

x.

)

1

2

3

5

8

Respuesta: D

Conceptos:funciones piso y techo suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m

para los

2m + 1

valores

m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1

.

\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m

for the

2m + 1

values

m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1

Pista grande:

Como

\sqrt{2025} = 45,

suma

m(2m + 1)

para

m = 1

hasta

44

y añade el término final

45

.

Since

\sqrt{2025} = 45,

sum

m(2m + 1)

for

m = 1

to

44

and add the final term

45

Solución:

Para cada

m,

\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m

en los

2m + 1

enteros

m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1.

Como

\sqrt{2025} = 45,

los términos con

1 \le m \le 44

contribuyen

\sum_{m=1}^{44} m(2m + 1),

y

n = 2025

añade

45.

Esa suma es

\sum_{m=1}^{44}(2m^2 + m)

= 2 \cdot \tfrac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6}

+ \tfrac{44 \cdot 45}{2} = 58740

+ 990 = 59730,

así que el total es

59775.

Su dígito de las unidades es

5.

Por lo tanto, la respuesta es D.

For each

m,

\lfloor\sqrt{n}\rfloor = m

on the

2m + 1

integers

m^2 \le n \le (m + 1)^2 - 1.

Since

\sqrt{2025} = 45,

the terms with

1 \le m \le 44

contribute

\sum_{m=1}^{44} m(2m + 1),

and

n = 2025

tacks on

45.

That sum is

\sum_{m=1}^{44}(2m^2 + m)

= 2 \cdot \tfrac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6}

+ \tfrac{44 \cdot 45}{2} = 58740

+ 990 = 59730,

so the total is

59775.

Its ones digit is

5.

Therefore, the answer is D.