Question

El diagrama de abajo muestra un rectángulo con lados de longitud $4$ y $8$ y un cuadrado con lado de longitud $5.$ Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac{1}{8}$

$15\dfrac{3}{8}$

$15\dfrac{1}{2}$

$15\dfrac{5}{8}$

$15\dfrac{7}{8}$

Respuesta: D

Conceptos:congruencia (geometría)semejanza trapecio

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Etiquetemos los puntos como se muestra:

Como $AB=4$ y el lado del cuadrado $BC=5,$ el triángulo rectángulo $ABC$ da $AC=3.$ Además, $BC\perp CE$ y $A,C,D$ son colineales, así que $\angle ABC=\angle DCE.$ Los triángulos rectángulos $ABC$ y $CDE$ tienen hipotenusas iguales $BC=CE=5,$ por lo que son congruentes. Entonces $CD=4, DE=3,$ y $EF=4-DE=1.$

Los triángulos rectángulos $EFG$ y $CDE$ son semejantes, así que $\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54.$ Por tanto, $EG=5/4.$ La región sombreada $BCEG$ es un trapecio cuyas bases paralelas son $BC=5$ y $EG=5/4,$ y cuya altura es el lado perpendicular $CE=5.$ Su área es $\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58.$

Así, la respuesta es D.

Label the points as shown:

Because $AB=4$ and the square side $BC=5,$ right triangle $ABC$ gives $AC=3.$ Also $BC\perp CE$ and $A,C,D$ are collinear, so $\angle ABC=\angle DCE.$ The right triangles $ABC$ and $CDE$ have equal hypotenuses $BC=CE=5,$ so they are congruent. Thus $CD=4, DE=3,$ and $EF=4-DE=1.$

Right triangles $EFG$ and $CDE$ are similar, so $\frac{EG}{EF}=\frac{EC}{CD}=\frac54.$ Hence $EG=5/4.$ The shaded region $BCEG$ is a trapezoid whose parallel sides are $BC=5$ and $EG=5/4,$ and whose height is the perpendicular side $CE=5.$ Its area is $\frac12\left(5+\frac54\right)5=\frac{125}{8}=15\frac58.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 16 en otros años