Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo escaleno. El punto $P$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $\overline{AP}$ biseca $\angle BAC.$ La recta que pasa por $B$ perpendicular a $\overline{AP}$ corta a la recta que pasa por $A$ paralela a $\overline{BC}$ en el punto $D.$ Supón que $BP = 2$ y $PC = 3.$ ¿Cuánto vale $AD$ ?

Let $\triangle ABC$ be a scalene triangle. Point $P$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{AP}$ bisects $\angle BAC.$ The line through $B$ perpendicular to $\overline{AP}$ intersects the line through $A$ parallel to $\overline{BC}$ at point $D.$ Suppose $BP = 2$ and $PC = 3.$ What is $AD?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz semejanza triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Consideremos el siguiente diagrama:

Sea $Y$ la intersección de $\overline{BD}$ y $\overline{AC}.$ Por el teorema de la bisectriz, $AB:AC=BP:PC=2:3,$ así que escribimos $AB=2x$ y $AC=3x.$

La reflexión respecto de la bisectriz $\overline{AP}$ envía el rayo $AB$ al rayo $AC.$ Como $BY\perp AP,$ envía $B$ a $Y.$ Por tanto, $AY=AB=2x,$ y entonces $YC=AC-AY=x.$

Como $AD\parallel BC,$ con $B,Y,D$ colineales y $A,Y,C$ colineales, tenemos $\triangle BYC\sim\triangle DYA.$ Entonces $\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.$

Finalmente, $BC=BP+PC=5,$ así que $AD=2BC=10.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Let $Y$ be the intersection of $\overline{BD}$ and $\overline{AC}.$ By the Angle Bisector Theorem, $AB:AC=BP:PC=2:3,$ so write $AB=2x$ and $AC=3x.$

Reflection across the angle bisector $\overline{AP}$ sends ray $AB$ to ray $AC.$ Because $BY\perp AP,$ it sends $B$ to $Y.$ Thus $AY=AB=2x,$ and hence $YC=AC-AY=x.$

Since $AD\parallel BC,$ with $B,Y,D$ collinear and $A,Y,C$ collinear, we have $\triangle BYC\sim\triangle DYA.$ Therefore $\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.$

Finally, $BC=BP+PC=5,$ so $AD=2BC=10.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 13 en otros años