Question

En el $\triangle ABC$ con ángulo recto en $C,$ el punto $D$ está en el interior de $\overline{AB}$ y el punto $E$ está en el interior de $\overline{BC}$ de modo que $AC=CD,$ $DE=EB,$ y la razón $AC:DE=4:3.$ ¿Cuál es la razón $AD:DB$ ?

In $\triangle ABC$ with a right angle at $C,$ point $D$ lies in the interior of $\overline{AB}$ and point $E$ lies in the interior of $\overline{BC}$ so that $AC=CD,$ $DE=EB,$ and the ratio $AC:DE=4:3.$ What is the ratio $AD:DB?$

$2:3$

$2:\sqrt{5}$

$1:1$

$3:\sqrt{5}$

$3:2$

Respuesta: A

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles trigonometría

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Escalemos la figura para que $AC=CD=4$ y $DE=EB=3$ . Sea $A=\angle BAC$ y $B=\angle ABC$ , de modo que $A+B=90^\circ$ .

Los triángulos isósceles $ACD$ y $DEB$ dan $\angle CDA=A$ y $\angle EDB=B$ . Como $DA$ y $DB$ son rayos opuestos, $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ.$ Por tanto, $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , así que $BC=CE+EB=8$ y $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ .

Las bases de los dos triángulos isósceles miden $AD=8\cos A$ y $BD=6\cos B=6\sin A$ . Entonces $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

Scale the figure so that $AC=CD=4$ and $DE=EB=3$ . Let $A=\angle BAC$ and $B=\angle ABC$ , so $A+B=90^\circ$ .

The isosceles triangles $ACD$ and $DEB$ give $\angle CDA=A$ and $\angle EDB=B$ . Because $DA$ and $DB$ are opposite rays, $\angle CDE=180^\circ-A-B=90^\circ.$ Therefore $CE=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , so $BC=CE+EB=8$ and $\tan A=\frac{BC}{AC}=2$ .

The bases of the two isosceles triangles have lengths $AD=8\cos A$ and $BD=6\cos B=6\sin A$ . Hence $\frac{AD}{BD}=\frac{8\cos A}{6\sin A}=\frac{4}{3\tan A}=\frac23.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B Problema 16

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

El Problema 16 en otros años