Question

¿Cuántos enteros no negativos pueden escribirse en la forma donde $a_i\in \{-1,0,1\}$ para $0\le i \le 7$ ? $a_7\cdot3^7+a_6\cdot3^6+a_5\cdot3^5$ $+a_4\cdot3^4+a_3\cdot3^3+a_2\cdot3^2$ $+a_1\cdot3^1+a_0\cdot3^0,$

How many nonnegative integers can be written in the form $a_7\cdot3^7+a_6\cdot3^6+a_5\cdot3^5$ $+a_4\cdot3^4+a_3\cdot3^3+a_2\cdot3^2$ $+a_1\cdot3^1+a_0\cdot3^0,$ where $a_i\in \{-1,0,1\}$ for $0\le i \le 7?$

$512$

$729$

$1094$

$3281$

$59,048$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica simetría emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

Nota que todo número formado por esta suma es positivo, negativo o cero.

El número de valores positivos es igual al de negativos por simetría (cambia los $1$ a $-1$ y los $-1$ a $1$ ).

La única manera de que la suma sea $0$ es que todos los coeficientes sean $0.$

El número total de valores es $3^8 = 6561.$ Como cada potencia de $3$ es mayor que la suma de todas las potencias anteriores de tres, cada combinación de coeficientes produce números distintos. $3^k,$ $2(1+3+\cdots+3^{k-1})=3^k-1.$

Por lo tanto, hay enteros no negativos distintos. $\dfrac{6561 - 1}{2} + 1 = 3281$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that every number formed by this sum is either positive, negative, or zero.

The number of positive numbers equals the number of negative numbers due to symmetry (flip the $1$ s to $-1$ s and $-1$ s to $1$ s).

The only way for the sum to be $0$ is if all the coefficients are $0.$

The total number of numbers is $3^8 = 6561.$ Because each power of $3$ is larger than the sum of all previous powers of three, each combination of coefficients yields a different value. More explicitly, at the highest place where two combinations differ, the difference has magnitude at least $3^k,$ while all lower places together can cancel at most $2(1+3+\cdots+3^{k-1})=3^k-1.$

Therefore, there are $\dfrac{6561 - 1}{2} + 1 = 3281$ distinct nonnegative integers.

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

El Problema 18 en otros años