2018 AMC 10A Problema 12

Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales

(x,y)

satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones?

\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}

How many ordered pairs of real numbers

(x,y)

satisfy the following system of equations?

\begin{cases} ~x+3y&=3 \\ ~\big||x|-|y|\big|&=1 \end{cases}

1

2

3

4

8

Reemplaza la ecuación con valor absoluto por cuatro casos lineales.

Replace the absolute-value equation by four linear cases

Soluciones distintas pueden repetirse entre casos, así que cuenta los pares ordenados únicos.

Distinct solutions can repeat across cases, so count unique ordered pairs

La segunda ecuación dice que

|x|-|y|=1

o

|x|-|y|=-1

, así que basta con revisar las cuatro posibilidades lineales

x=y\pm1

y

x=-y\pm1

.

Combinándolas con

x+3y=3

se obtiene

(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)

,

(0,1)

, de nuevo

(0,1)

, y

(-3,2)

.

Estos son tres pares ordenados distintos, y cada uno satisface la ecuación original con valor absoluto. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The second equation says

|x|-|y|=1

or

|x|-|y|=-1

, so it is enough to check the four linear possibilities

x=y\pm1

and

x=-y\pm1

.

Combining these with

x+3y=3

gives

(x,y)=\left(\dfrac32,\dfrac12\right)

,

(0,1)

,

(0,1)

again, and

(-3,2)

.

These are three distinct ordered pairs, and each satisfies the original absolute-value equation. Thus, C is the correct answer.

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