Question

Los vértices de un triángulo equilátero están sobre la hipérbola $xy=1,$ y un vértice de esta hipérbola es el baricentro del triángulo. ¿Cuál es el cuadrado del área del triángulo?

The vertices of an equilateral triangle lie on the hyperbola $xy=1,$ and a vertex of this hyperbola is the centroid of the triangle. What is the square of the area of the triangle?

$48$

$60$

$108$

$120$

$169$

Respuesta: C

Conceptos:hipérbola triángulo equilátero baricentro simetría

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Por simetría, supongamos que el centroide es el vértice de la hipérbola $G=(1,1).$ Al menos dos vértices del triángulo están en la misma rama de la hipérbola. No pueden estar ambos en la rama negativa: si dos coordenadas $x$ fueran negativas, la tercera excedería $3,$ mientras que la suma de las tres coordenadas $y$ sería menor que $1/3,$ contradiciendo que el centroide es $(1,1)$ . Por tanto, dos vértices están en la rama positiva.

Escribamos estos vértices como $P=(a,1/a)$ y $Q=(b,1/b),$ donde $a,b>0.$ El centroide de un triángulo equilátero también es su circuncentro, así que $P$ y $Q$ están a la misma distancia de $G.$ Para $t>0,$ el cuadrado de la distancia de $(t,1/t)$ a $G$ es $\left(t+\dfrac1t\right)\left(t+\dfrac1t-2\right).$ Esto aumenta estrictamente cuando $t+1/t$ aumenta desde $2,$ por lo que los puntos distintos deben satisfacer $b=1/a.$ Así, $P$ y $Q$ son reflejos respecto de $y=x.$

El tercer vértice está en la mediatriz $y=x.$ Sus coordenadas también satisfacen $xy=1,$ así que es $(1,1)$ o $(-1,-1).$ No puede ser el centroide, por lo que es $(-1,-1).$ Entonces el circunradio es la distancia de $(1,1)$ a $(-1,-1),$ es decir, $2\sqrt2.$

Al dividir el triángulo equilátero en tres triángulos desde su centro, su área es $3\cdot\dfrac12(2\sqrt2)^2\sin120^\circ=6\sqrt3.$ El cuadrado del área es $(6\sqrt3)^2=108.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

By symmetry, assume that the centroid is the hyperbola vertex $G=(1,1).$ At least two triangle vertices lie on the same branch of the hyperbola. They cannot both lie on the negative branch: if two of their $x$ -coordinates were negative, the third would exceed $3,$ while the sum of the three $y$ -coordinates would be less than $1/3,$ contradicting that their centroid is $(1,1).$ Thus two vertices lie on the positive branch.

Write these vertices as $P=(a,1/a)$ and $Q=(b,1/b),$ where $a,b>0.$ The centroid of an equilateral triangle is also its circumcenter, so $P$ and $Q$ are equidistant from $G.$ For $t>0,$ the squared distance from $(t,1/t)$ to $G$ is $\left(t+\dfrac1t\right)\left(t+\dfrac1t-2\right).$ This is strictly increasing as $t+1/t$ increases from $2,$ so the distinct points must satisfy $b=1/a.$ Hence $P$ and $Q$ are reflections across $y=x.$

The third vertex lies on the perpendicular bisector $y=x.$ Its coordinates also satisfy $xy=1,$ so it is either $(1,1)$ or $(-1,-1).$ It cannot equal the centroid, so it is $(-1,-1).$ Therefore, the circumradius is the distance from $(1,1)$ to $(-1,-1),$ namely $2\sqrt2.$

Dividing the equilateral triangle into three triangles at its center gives its area as $3\cdot\dfrac12(2\sqrt2)^2\sin120^\circ=6\sqrt3.$ The square of the area is $(6\sqrt3)^2=108.$

Thus, the correct answer is C .

2017 AMC 10B Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 24 en otros años