Question

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo y $1$ de verde. Dos coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Por simetría, el disco verde tiene dos tipos posibles de posición: una esquina o el punto medio de un lado. Fijemos un representante de cada tipo. Hay $\binom52=10$ maneras de elegir los dos discos rojos.

La reflexión que fija la posición verde fija uno de los otros discos e intercambia los otros cuatro en dos pares. Exactamente $2$ elecciones de discos rojos permanecen invariantes bajo esta reflexión: elegir cualquiera de los pares intercambiados. Las otras $8$ elecciones forman $4$ pares de imágenes especulares. Por tanto, hay $2+4=6$ pinturas para cada tipo de posición verde.

Los dos tipos dan entonces $6+6=12$ pinturas.

Así, la respuesta correcta es D.

By symmetry, the green disk has two possible types of position: a corner or a side midpoint. Fix one representative of either type. There are $\binom52=10$ ways to choose the two red disks.

The reflection that fixes the green position fixes one of the other disks and exchanges the other four disks in two pairs. Exactly $2$ red-disk choices are unchanged by this reflection: choosing either exchanged pair. The other $8$ choices form $4$ mirror-image pairs. Hence there are $2+4=6$ paintings for each type of green position.

The two types therefore give $6+6=12$ paintings.

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

El Problema 18 en otros años