Question

Claudia tiene $12$ monedas, cada una de $5$ centavos o de $10$ centavos. Con una o más de sus monedas se pueden obtener exactamente $17$ valores distintos. ¿Cuántas monedas de $10$ centavos tiene Claudia?

Claudia has $12$ coins, each of which is a $5$ -cent coin or a $10$ -cent coin. There are exactly $17$ different values that can be obtained as combinations of one or more of her coins. How many $10$ -cent coins does Claudia have?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: C

Conceptos:dinero conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Sea $x$ el número de monedas de $5$ centavos y sea $12 - x.$ el número de monedas de $10$ centavos.

Si $x=0,$ los únicos valores posibles son $10,20,\ldots,120$ centavos, apenas $12$ valores. Por tanto, $x>0.$ Al haber al menos una moneda de $5$ centavos, se puede obtener cada múltiplo de $5$ desde $5$ hasta el valor total $5x+10(12-x)=120-5x$ .

Hay $24 - x$ de estos múltiplos de $5,$ por lo que debe ser $x = 7$ para obtener $17$ valores distintos posibles.

El número de monedas de $10$ centavos es entonces $12 - 7 = 5.$

Así, C es la respuesta correcta.

Let the number of $5$ -cent coins be $x$ and the number of $10$ -cent coins be $12 - x.$

If $x=0,$ the only possible values are $10,20,\ldots,120$ cents, giving just $12$ values. Hence $x>0.$ Having at least one $5$ -cent coin then makes every multiple of $5$ from $5$ through the total value $5x+10(12-x)=120-5x$ obtainable.

There are $24 - x$ such multiples of $5,$ which means that $x = 7$ to get $17$ possible different values.

The number of $10$ -cent coins is therefore $12 - 7 = 5.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

El Problema 13 en otros años