Question

Un círculo ha sido dividido en $6$ sectores de $6$ tamaños diferentes. Luego $2$ de los sectores se pintan de rojo, $2$ de verde, y $2$ de azul de modo que no haya dos sectores vecinos pintados del mismo color. A continuación se muestra una de estas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into $6$ sectors of $6$ different sizes. Then $2$ of the sectors are painted red, $2$ painted green, and $2$ painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

$12$

$16$

$18$

$24$

$28$

Respuesta: D

Conceptos:teoría de grafos conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Los seis sectores desiguales forman un ciclo fijo de $6$ posiciones distinguibles, así que buscamos coloraciones propias de un ciclo de $6$ vértices con $3$ colores, usando cada color exactamente dos veces. Hay $(3-1)^6 + (3-1) = 66$ coloraciones propias con $3$ colores. De ellas, $6$ usan solo dos colores: elegimos el color ausente de $3$ maneras y alternamos los otros dos de $2$ maneras. Otras $36$ tienen conteos $(3,2,1)$ : elegimos el color usado tres veces de $3$ maneras, uno de los $2$ conjuntos alternados de posiciones, el color usado dos veces de $2$ maneras y sus $2$ posiciones entre las otras $3$ de $3$ maneras. Las $66 - 6 - 36 = 24$ restantes usan cada color exactamente dos veces. Por lo tanto, la respuesta es D.

The six unequal sectors form a fixed cycle of $6$ distinguishable positions, so we want proper $3$ -colorings of a $6$ -cycle that use each color exactly twice. There are $(3-1)^6 + (3-1) = 66$ proper $3$ -colorings altogether. Of these, $6$ use only two colors: choose the missing color in $3$ ways, then alternate the other two colors in $2$ ways. Another $36$ have color counts $(3,2,1)$ : choose the color used three times in $3$ ways, choose one of the $2$ alternating sets of positions for it, choose the color used twice in $2$ ways, and choose its $2$ positions among the other $3$ in $3$ ways. The remaining $66 - 6 - 36 = 24$ use each color exactly twice. Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10B Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

El Problema 16 en otros años