Question

Considera los siguientes $100$ conjuntos de $10$ elementos cada uno: ¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de $7$ ? $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$ How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$\ 40$

$\ 42$

$\ 43$

$\ 49$

$\ 50$

Respuesta: B

Conceptos:múltiplo aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Un bloque de diez enteros consecutivos contiene exactamente dos múltiplos de $7$ precisamente cuando su primer múltiplo de $7$ ocupa una de las tres primeras posiciones. Por tanto, ese múltiplo debe tener cifra de las unidades $1,2,$ o $3.$

Los múltiplos de $7$ con esas cifras de las unidades son, respectivamente, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ Para cada expresión, $j=0,1,\ldots,13$ da un valor no mayor que $1000,$ así que cada clase aporta $14$ bloques. Por tanto, el total es $3\cdot14=42.$

Así, la respuesta es B.

A block of ten consecutive integers contains exactly two multiples of $7$ precisely when its first multiple of $7$ is in one of the first three positions. Thus that multiple must have units digit $1,2,$ or $3.$

The multiples of $7$ with those units digits are, respectively, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ For each expression, $j=0,1,\ldots,13$ gives a value at most $1000,$ so each class contributes $14$ blocks. Therefore, the total is $3\cdot14=42.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Problema 8 en otros años