Question

Tres rectas paralelas equidistantes cortan un círculo, formando tres cuerdas de longitudes $38,38,$ y $34.$ ¿Cuál es la distancia entre dos rectas paralelas adyacentes?

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\frac12$

$6$

$6\frac12$

$7$

$7\frac12$

Respuesta: B

Conceptos:cuerda círculo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Las dos cuerdas de longitud $38$ están a la misma distancia del centro. No pueden estar sobre las dos rectas exteriores: entonces el centro estaría sobre la recta intermedia, cuya cuerda sería un diámetro mayor que $38,$ no la cuerda dada de $34.$ Por tanto, las cuerdas iguales están sobre rectas adyacentes, con el centro a mitad de camino. Sea $d.$ esa semidistancia. Cada cuerda de $38$ está a distancia $d$ del centro, y la cuerda de $34$ está a distancia $3d$ .

Si el círculo tiene radio $r,$ entonces

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Así, $19^2-17^2=8d^2,$ por lo que $72=8d^2,$ y $d=3.$ La distancia entre rectas paralelas adyacentes es $2d=6.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

The two chords of length $38$ are equally far from the center of the circle. They cannot lie on the two outer lines: then the center would lie on the middle line, whose chord would be a diameter longer than $38,$ not the given $34.$ Therefore, the equal chords lie on adjacent lines, with the center halfway between them. Let that half-distance be $d.$ Then each $38$ -chord is distance $d$ from the center, and the $34$ -chord is distance $3d$ from the center.

If the circle has radius $r,$ then

$r^2=19^2+d^2=17^2+(3d)^2.$

Thus $19^2-17^2=8d^2,$ so $72=8d^2,$ and $d=3.$ The distance between adjacent parallel lines is $2d=6.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1540

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Solución escrita:

El Problema 14 en otros años