Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono equiángulo. Las rectas $AB, CD,$ y $EF$ determinan un triángulo de área $192\sqrt{3},$ y las rectas $BC, DE,$ y $FA$ determinan un triángulo de área $324\sqrt{3}.$ El perímetro del hexágono $ABCDEF$ se puede expresar como $m +n\sqrt{p},$ donde $m, n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Let $ABCDEF$ be an equiangular hexagon. The lines $AB, CD,$ and $EF$ determine a triangle with area $192\sqrt{3},$ and the lines $BC, DE,$ and $FA$ determine a triangle with area $324\sqrt{3}.$ The perimeter of hexagon $ABCDEF$ can be expressed as $m +n\sqrt{p},$ where $m, n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$47$

$52$

$55$

$58$

$63$

Respuesta: C

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Sean las intersecciones de las rectas $AB,CD,EF$ los vértices del triángulo $PQR,$ y sean las intersecciones de $BC,DE,FA$ los vértices del triángulo $XYZ.$ Como el hexágono es equiángulo, todos estos triángulos exteriores son equiláteros.

Para un triángulo equilátero de lado $s,$ el área es $\frac{\sqrt3}{4}s^2.$ Por tanto,

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

Así, $PQ=16\sqrt3$ y $YZ=36.$ Para justificar la relación con el perímetro, llamemos $a,b,c,d,e,f$ a las longitudes consecutivas de los lados del hexágono. Los dos triángulos de rectas alternadas tienen lados $b+c+d$ y $c+d+e,$ mientras que el cierre del hexágono da $a+f=c+d.$ Por ello, la suma de los lados de los dos triángulos es $\begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned}$ que es el perímetro del hexágono. Por tanto, el perímetro es

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Así, $m+n+p=36+16+3=55.$

Por tanto, C es la respuesta correcta.

Let the intersections of lines $AB,CD,EF$ form triangle $PQR,$ and let the intersections of lines $BC,DE,FA$ form triangle $XYZ.$ Because the hexagon is equiangular, all these outer triangles are equilateral.

For an equilateral triangle with side length $s,$ the area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2.$ Hence

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

So $PQ=16\sqrt3$ and $YZ=36.$ To justify the perimeter relation, write the consecutive hexagon side lengths as $a,b,c,d,e,f.$ The two alternating-line triangles have side lengths $b+c+d$ and $c+d+e,$ while closure of the hexagon gives $a+f=c+d.$ Hence their side-length sum is $\begin{aligned} &(b+c+d)\\ &\quad+(c+d+e)\\ &=b+e+2(c+d)\\ &=(a+b+c)+(d+e+f), \end{aligned}$ the hexagon's perimeter. Therefore the perimeter is

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Thus $m+n+p=36+16+3=55.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 21 en otros años