Question

Sea $f$ una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ para todos los números racionales positivos $a$ y $b.$ Supongamos que $f$ también cumple la propiedad de que $f(p)=p$ para todo número primo $p.$ ¿Para cuál de los siguientes números $x$ se cumple $f(x) < 0$ ?

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) < 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional factorización en primos

Nivel de dificultad: 1280

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que, para cualquier número de la forma $f(p^e)=ef(p)=ep$ donde $p$ es primo, Esto se ve aplicando la propiedad de la función varias veces. $e.$ $f(a/b)=f(a)-f(b).$ $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$

Observa también que lo que nos da $\begin{aligned} f(17/32)&=17-5\cdot2=7,\\ f(11/16)&=11-4\cdot2=3,\\ f(7/9)&=7-2\cdot3=1,\\ f(7/6)&=7-2-3=2,\\ f(25/11)&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$

Ahora podemos calcular cada opción de respuesta una por una. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Repeated use of the functional equation gives $f(p^e)=ef(p)=ep$ for every prime $p$ and positive integer $e.$ Also, $f(a)=f\left(\frac ab\right)+f(b),$ so $f(a/b)=f(a)-f(b).$

Evaluating the choices by prime factorization, $\begin{aligned} f(17/32)&=17-5\cdot2=7,\\ f(11/16)&=11-4\cdot2=3,\\ f(7/9)&=7-2\cdot3=1,\\ f(7/6)&=7-2-3=2,\\ f(25/11)&=2\cdot5-11=-1. \end{aligned}$ Only the final value is negative.

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1280

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 18 en otros años