2020 AMC 10A Problema 17

Question

Define

\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}

¿Cuántos enteros

n

hay tales que

P(n)\leq 0

?

Define

\begin{aligned} P(x)={}&(x-1^2)(x-2^2)\\ &\cdots(x-100^2). \end{aligned}

How many integers

n

are there such that

P(n)\leq 0?

4900

4950

5000

5050

5100

Respuesta: E

Conceptos:polinomio desigualdad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Haz una tabla de signos a lo largo de las raíces

1^2,2^2,\ldots,100^2

.

Make a sign chart across the square roots

1^2,2^2,\ldots,100^2

Pista grande:

Cuenta los puntos enteros en un intervalo sí y otro no, incluyendo los extremos.

Count integer points in every other interval, including endpoints

Solución en video:

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Solución escrita:

El polinomio cambia de signo en cada cuadrado

1^2,2^2,\ldots,100^2

, y su coeficiente principal es positivo. Así,

P(n)\le0

para los enteros en los intervalos

[1^2,2^2]

,

[3^2,4^2]

,

\ldots

,

[99^2,100^2]

.

Para

k

impar, el intervalo

[k^2,(k+1)^2]

contiene

(k+1)^2-k^2+1=2k+2

enteros. Sumando sobre los

k=1,3,\ldots,99

impares se obtiene

2(1+3+\cdots+99)

+2\cdot50=5000+100

=5100

. Así, E es la respuesta correcta.

The polynomial changes sign at each square

1^2,2^2,\ldots,100^2

, and its leading coefficient is positive. Thus

P(n)\le0

for integers in the intervals

[1^2,2^2]

,

[3^2,4^2]

,

\ldots

,

[99^2,100^2]

.

For odd

k

, the interval

[k^2,(k+1)^2]

contains

(k+1)^2-k^2+1=2k+2

integers. Summing over odd

k=1,3,\ldots,99

gives

2(1+3+\cdots+99)

+2\cdot50=5000+100

=5100

. Thus, E is the correct answer.