Question

Henry decide una mañana hacer ejercicio, y camina $\tfrac{3}{4}$ del trayecto desde su casa hasta su gimnasio. El gimnasio está a $2$ kilómetros de la casa de Henry. En ese punto, cambia de opinión y camina $\tfrac{3}{4}$ del trayecto desde donde está de vuelta hacia casa. Cuando llega a ese punto, cambia de opinión otra vez y camina $\tfrac{3}{4}$ de la distancia desde ahí de vuelta hacia el gimnasio. Si Henry sigue cambiando de opinión cada vez que ha caminado $\tfrac{3}{4}$ de la distancia hacia el gimnasio o hacia casa desde el punto donde cambió de opinión por última vez, se acercará mucho a caminar de ida y vuelta entre un punto a $A$ kilómetros de casa y un punto a $B$ kilómetros de casa. ¿Cuánto vale $|A-B|$ ?

Henry decides one morning to do a workout, and he walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from his home to his gym. The gym is $2$ kilometers away from Henry's home. At that point, he changes his mind and walks $\tfrac{3}{4}$ of the way from where he is back toward home. When he reaches that point, he changes his mind again and walks $\tfrac{3}{4}$ of the distance from there back toward the gym. If Henry keeps changing his mind when he has walked $\tfrac{3}{4}$ of the distance toward either the gym or home from the point where he last changed his mind, he will get very close to walking back and forth between a point $A$ kilometers from home and a point $B$ kilometers from home. What is $|A-B|?$

$\frac{2}{3}$

$1$

$1 \frac{1}{5}$

$1 \frac{1}{4}$

$1 \frac{1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:recursión ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Supón que comienza a $x$ millas de casa y luego avanza en dirección al gimnasio antes de regresar. La distancia actual entre él y el gimnasio es así que tras caminar quedaría a millas del gimnasio. Esto lo pondría a millas de casa. $2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.$

Luego, cuando camina hacia casa, queda a millas de casa. $\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.$

Si Henry está en uno de esos puntos, su posición se mantendría igual, así que De este modo, sabemos que Por lo tanto, uno de los puntos de equilibrio está a $x=\frac25$ millas de la casa. $x=\frac38+\frac{x}{16},$

Con un razonamiento similar, pero comenzando a millas del gimnasio y yendo primero a casa y luego al gimnasio, obtenemos que otro punto está a millas de la casa. $2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.$ $|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.$

Por lo tanto, los puntos están a y millas, así que su diferencia es millas. Así, la respuesta correcta es C.

Suppose a limiting homeward turnaround point is $x$ kilometers from home. After Henry walks toward the gym, his position is $2-\frac{2-x}{4}=\frac32+\frac{x}{4}.$

After he turns back toward home, one quarter of that distance remains, so his next homeward turnaround point is $\frac14\left(\frac32+\frac{x}{4}\right)=\frac38+\frac{x}{16}.$

At the limiting point this two-step map leaves the position unchanged, so $x=\frac38+\frac{x}{16},$ which gives $x=\frac25$ .

The other limiting point is the position reached after walking toward the gym: $2-\frac{2-\frac25}{4}=\frac85.$ Therefore $|A-B|=\frac85-\frac25=\frac65=1\frac15.$

Thus, the correct answer is C .

2019 AMC 10B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 18 en otros años