Question

Para ciertos números reales $a,$ $b,$ y $c,$ el polinomio tiene tres raíces distintas, y cada raíz de $g(x)$ también es raíz del polinomio ¿Cuánto vale $f(1)$ ? $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$

For certain real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ the polynomial $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ has three distinct roots, and each root of $g(x)$ is also a root of the polynomial $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$ What is $f(1)?$

$-9009$

$-8008$

$-7007$

$-6006$

$-5005$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Como las tres raíces distintas del polinomio cúbico $g$ también son raíces del polinomio mónico de cuarto grado $f,$ podemos escribir $f(x)=g(x)(x-r)$ para algún número real $r.$

El coeficiente de $x$ en este producto es $10-r,$ así que $10-r=100$ y $r=-90.$ El coeficiente de $x^3$ es $a-r,$ así que $a-r=1$ y $a=-89.$

Por tanto, $\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Because the three distinct roots of the cubic $g$ are also roots of the monic quartic $f,$ we can write $f(x)=g(x)(x-r)$ for some real number $r.$

The coefficient of $x$ in this product is $10-r,$ so $10-r=100$ and $r=-90.$ The coefficient of $x^3$ is $a-r,$ so $a-r=1$ and $a=-89.$

Therefore, $\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

El Problema 24 en otros años