2016 AMC 10B Problema 21

Question

¿Cuál es el área de la región encerrada por la gráfica de la ecuación

x^2+y^2=|x|+|y|

?

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation

x^2+y^2=|x|+|y|?

\ \pi+\sqrt{2}

\ \pi+2

\ \pi+2\sqrt{2}

\ 2\pi+\sqrt{2}

\ 2\pi+2\sqrt{2}

Trabaja en un cuadrante y multiplica por

4

.

Work in one quadrant and multiply by

4

La región del primer cuadrante es un triángulo más un semicírculo.

The first-quadrant region is a triangle plus a semicircle

La ecuación es simétrica en los cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante se convierte en

x^2+y^2=x+y,

o bien

(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.

En el primer cuadrante, la región encerrada es el triángulo bajo

x+y=1

, con área

\frac12

, más un semicírculo de radio

\sqrt{\frac{1}{2}}

, con área

\frac\pi4

.

Multiplicando por

4

, el área total es

4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is symmetric in all four quadrants. In the first quadrant it becomes

x^2+y^2=x+y,

or

(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=\tfrac12.

In the first quadrant, the enclosed region is the triangle under

x+y=1

, with area

\frac12

, plus a semicircle of radius

\sqrt{\frac{1}{2}}

, with area

\frac\pi4

.

Multiplying by

4

, the total area is

4\left(\frac12+\frac\pi4\right)=2+\pi.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 21 en otros años