2014 AMC 10A Problema 8

Question

¿Cuál de los siguientes números es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is a perfect square?

\dfrac{14!15!}2

\dfrac{15!16!}2

\dfrac{16!17!}2

\dfrac{17!18!}2

\dfrac{18!19!}2

Escribe cada opción como

\frac{n!(n+1)!}{2}

.

Write each choice as

\frac{n!(n+1)!}{2}

Solo hace falta que

\frac{n+1}{2}

sea un cuadrado.

Only

\frac{n+1}{2}

needs to be a square

Observa que todas las opciones tienen la forma

\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.

Como

(n!)^2

es un cuadrado, necesitamos que

\dfrac{n + 1}{2}

también lo sea.

Esto significa que

n + 1

debe ser el doble de un cuadrado perfecto. La única opción es

n + 1 = 18,

lo que nos da

n = 17.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that all of these answer choices are of the form

\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.

We have that

(n!)^2

is square, so we need

\dfrac{n + 1}{2}

to be square as well.

This means that

n + 1

must be twice a perfect square. The only choice we have is

n + 1 = 18,

which gives us

n = 17.

Thus, D is the correct answer.

El Problema 8 en otros años