Question

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante del concurso obtuvo una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y fue la más alta de su equipo. Las compañeras de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los lugares $37^\text{th}$ y $64^\text{th},$ respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea's score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea's teammates Beth and Carla placed $37^\text{th}$ and $64^\text{th},$ respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:mediana (datos)desigualdad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Sean $n$ escuelas. Entonces hay $3n$ participantes en el concurso.

Como la mediana es la puntuación de un estudiante, $3n$ es impar y, por tanto, $n$ es impar. El puesto $64^\text{th}$ de Carla exige $3n\ge64,$ así que el entero impar $n$ es al menos $23.$

El puesto mediano de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2}.$ Como obtuvo la mayor puntuación de su equipo, terminó por delante de Beth, así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37.$ Esto da $3n\lt73,$ y por tanto el entero impar $n$ es como máximo $23.$

Así, hay $23$ escuelas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let there be $n$ schools. Then there are $3n$ participants in the contest.

Because the median is one student's score, $3n$ is odd, so $n$ is odd. Carla's $64^\text{th}$ place requires $3n\ge64,$ and hence the odd integer $n$ is at least $23.$

Andrea's median place is $\dfrac{3n+1}{2}.$ Because she had the highest score on her team, she finished ahead of Beth, so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37.$ This gives $3n\lt73,$ and therefore the odd integer $n$ is at most $23.$

Thus there are $23$ schools.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

El Problema 17 en otros años