Question

Un rectángulo de $2 \times 3$ y un rectángulo de $3 \times 4$ están contenidos dentro de un cuadrado sin superponerse en ningún punto interior, y los lados del cuadrado son paralelos a los lados de los dos rectángulos dados. ¿Cuál es la menor área posible del cuadrado?

A $2 \times 3$ rectangle and a $3 \times 4$ rectangle are contained within a square without overlapping at any interior point, and the sides of the square are parallel to the sides of the two given rectangles. What is the smallest possible area of the square?

$16$

$25$

$36$

$49$

$64$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado (geometría)rectángulo optimización

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Coloquemos los rectángulos uno junto al otro con sus lados de longitud $3$ en posición vertical. Sus anchos suman $2+3=5,$ y las alturas $3$ y $4$ caben ambas dentro de $5.$

Como los rectángulos están alineados con los ejes y sus interiores no se superponen, sus proyecciones horizontales o sus proyecciones verticales deben ser disjuntas. En cualquiera de las dos direcciones, el primer rectángulo abarca al menos $2$ y el segundo al menos $3,$ así que el lado del cuadrado mide al menos $2+3=5.$ Por tanto, la menor área es $5^2=25.$

Así, la respuesta correcta es B.

Place the rectangles side by side with their $3$ -length sides vertical. Their widths add to $2+3=5,$ and the heights $3$ and $4$ both fit within $5.$

Because the rectangles are axis-aligned and their interiors do not overlap, their horizontal projections or their vertical projections must be disjoint. In either direction, the first rectangle spans at least $2$ and the second spans at least $3,$ so the square's side is at least $2+3=5.$ The smallest area is therefore $5^2=25.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B Problema 5

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

El Problema 5 en otros años