2003 AMC 10B Problema 8

Question

El segundo y el cuarto términos de una sucesión geométrica son

2

y

6.

¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are

2

and

6.

Which of the following is a possible first term?

-\sqrt{3}

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

3

Al dividir el cuarto término entre el segundo término se obtiene

r^2

.

Dividing the fourth term by the second term gives

r^2

Con

ar=2,

el primer término es

a=\dfrac{2}{r},

y

r

puede ser negativo.

With

ar=2,

the first term is

a=\dfrac{2}{r},

and

r

may be negative

Sean los términos

a,

ar,

ar^2,

ar^3,

\dots

con

ar=2

y

ar^3=6.

Al dividir se obtiene

r^2=3,

así que

r=\pm\sqrt3.

Entonces

a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.

La opción

-\dfrac{2\sqrt3}{3}

corresponde al caso negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the terms be

a,

ar,

ar^2,

ar^3,

\dots

with

ar=2

and

ar^3=6.

Dividing gives

r^2=3,

so

r=\pm\sqrt3.

Then

a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.

The choice

-\dfrac{2\sqrt3}{3}

matches the negative case.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 8 en otros años