2003 AMC 10B Problema 24

Question

Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son

x+y,

x-y,

xy,

y

\frac{x}{y},

en ese orden. ¿Cuál es el quinto término?

The first four terms in an arithmetic sequence are

x+y,

x-y,

xy,

and

\frac{x}{y},

in that order. What is the fifth term?

-\dfrac{15}{8}

-\dfrac{6}{5}

0

\dfrac{27}{20}

\dfrac{123}{40}

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

La diferencia común es

(x-y)-(x+y)=-2y

.

The common difference is

(x-y)-(x+y)=-2y

Pista grande:

Así que el tercer y el cuarto términos son

x-3y

y

x-5y;

iguala estos a

xy

y

\frac{x}{y}

.

So the third and fourth terms are

x-3y

and

x-5y;

set these equal to

xy

and

\frac{x}{y}

Solución:

La diferencia común es

-2y,

así que el tercer y el cuarto términos deben ser

x-3y

y

x-5y.

Por lo tanto

xy=x-3y

y

\dfrac{x}{y}=x-5y.

De

\dfrac{x}{y}=x-5y

obtenemos

x=xy-5y^2,

y al sustituir

xy=x-3y

se obtiene

-3y-5y^2=0.

Como

y\ne 0,

y=-\dfrac35

y entonces

x=-\dfrac98.

El quinto término es

x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The common difference is

-2y,

so the third and fourth terms must be

x-3y

and

x-5y.

Thus

xy=x-3y

and

\dfrac{x}{y}=x-5y.

From

\dfrac{x}{y}=x-5y

we get

x=xy-5y^2,

and substituting

xy=x-3y

gives

-3y-5y^2=0.

Since

y\ne 0,

y=-\dfrac35

and then

x=-\dfrac98.

The fifth term is

x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.

Thus, the correct answer is E.