Question

La media, la mediana, la moda única y el rango de una colección de ocho enteros son todos iguales a $8.$ El mayor entero que puede ser elemento de esta colección es

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:media mediana (datos)moda argumento extremal

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La suma es $8\cdot 8=64.$ La colección $6,6,6,8,8,8,8,14$ tiene media, mediana, moda única y rango iguales a $8,$ así que $14$ es alcanzable.

Si el mayor fuera por lo menos $16,$ el rango obligaría a que el menor fuera al menos $8.$ Una media de $8$ obligaría entonces a que los ocho enteros fueran $8,$ contradiciendo el rango.

Si el mayor fuera $15,$ el rango $8$ obligaría a que el menor fuera $7,$ así que los ocho enteros serían al menos $7.$ Los otros siete sumarían $64-15=49=7\cdot 7,$ lo que obliga a que todos sean $7.$ Pero entonces la mediana y la moda serían $7,$ no $8,$ una contradicción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sum is $8\cdot 8=64.$ The collection $6,6,6,8,8,8,8,14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

If the largest were at least $16,$ the range condition would make the smallest at least $8.$ A mean of $8$ would then force all eight integers to equal $8,$ contradicting the range.

If the largest were $15,$ the range $8$ forces the smallest to be $7,$ so all eight integers are at least $7.$ The other seven then sum to $64-15=49=7\cdot 7,$ forcing every one of them to equal $7.$ But then the median and mode would be $7,$ not $8,$ a contradiction.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10A Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 21 en otros años