Respuesta: 80

Solución:

Coloca la base en $A = (0,0,0),$ $B = (4,0,0),$ $C = (4,4,0),$ $D = (0,4,0);$ el ápice es entonces $E = (2, 2, 2\sqrt{2}),$ ya que $2^2 + 2^2 + 8 = 16.$ Los puntos medios dados son $R = (1, 1, \sqrt{2}),$ $S = (4, 2, 0),$ y $T = (2, 4, 0),$ y los tres satisfacen $x + y + 2\sqrt{2}\,z = 6,$ la ecuación del plano de corte.

Parametrizando las aristas $\overline{BE}$ y $\overline{DE}$ se ve que el plano las corta en $U = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ y $V = \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$ La sección transversal es el pentágono $RUSTV$ con $RU = RV = \sqrt{7},$ $US = VT = \sqrt{3},$ $ST = 2\sqrt{2},$ y diagonal $UV = 3\sqrt{2}.$

Divide el pentágono a lo largo de $\overline{UV}.$ El triángulo isósceles $RUV$ tiene altura $\sqrt{7 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ y área $\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}.$ El trapecio isósceles $USTV$ tiene altura $\sqrt{3 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ y área $\frac{1}{2}(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}.$ El total es $4\sqrt{5} = \sqrt{80},$ así que $p = 80.$