Question

集合 $\{9$ 、 $99$ 、 $999$ 、 $9999$ 、 $\ldots$ 、 $999999999\}$ 中九个数的算术平均数是一个 $9$ 位数 $M$ ，且 $M$ 的所有数字互不相同。这个数不含哪个数字？

The arithmetic mean of the nine numbers in the set $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ is a $9$ -digit number $M,$ all of whose digits are distinct. The number $M$ does not contain the digit

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

答案：A

知识点：位值数字

难度评级：950

小提示：

平均数是 $\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)$ 。

The mean is $\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)$

大提示：

每一项除以 $9$ 后，和变成 $1+11+111+\cdots$ ；把它们相加，看哪个数字没有出现。

Dividing each term by $9$ turns the sum into $1+11+111+\cdots$ ; add these and see which digit never appears

解答：

这九个数分别是 $10^k-1$ ，所以它们的和为 $9+99+\cdots+999{,}999{,}999$ 。把这个和除以 $9$ 得到 M： $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789\text{。} \end{aligned}$ 它的数字是 $1$ 到 $9$ ，因此缺少的数字是 $0$ 。

所以正确答案是 A。

Each of the nine numbers is $10^k-1,$ so their sum is $9+99+\cdots+999{,}999{,}999.$ Dividing by $9,$ $\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}$ Its digits are $1$ through $9,$ so the missing digit is $0.$

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B 第 1 题

答案：A

难度评级：950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题