√1+√1+\sqrt1 的四次方是：

1970 AMC 12 第 1 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1970 AMC 12 第 1 题

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$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ 的四次方是：

The fourth power of $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ is:

$\sqrt2+\sqrt3$

$\tfrac12(7+3\sqrt5)$

$1+2\sqrt3$

$3$

$3+2\sqrt2$

答案：E

知识点：根式指数代数变形

难度评级：1740

小提示：

从最内层根式开始，由内向外化简

Simplify from the innermost radical outward

大提示：

最内层根式化为 $1$ 后，将 $\sqrt{1+\sqrt2}$ 连续平方两次

After the innermost radical becomes $1,$ square $\sqrt{1+\sqrt2}$ twice

解答：

最内层根式为 $\sqrt1=1$ ，所以所给的数是 $\sqrt{1+\sqrt2}$ 。它的四次方为 $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

The innermost radical is $\sqrt1=1,$ so the given number is $\sqrt{1+\sqrt2}.$ Its fourth power is $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

完整试卷

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