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1972 AMC 12 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

四个三角形 I\mathrm{I}、II\mathrm{II}、III\mathrm{III} 和 IV\mathrm{IV} 的三边长度（单位：英寸）如下：I3,4,5II4,712,812III7,24,25IV312,412,512 \begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned} 其中仅有的直角三角形是：

The lengths in inches of the three sides of each of four triangles I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, III,\mathrm{III}, and IV\mathrm{IV} are as follows: I3,4,5II4,712,812III7,24,25IV312,412,512 \begin{aligned} \mathrm{I}\quad&3,4,5\\ \mathrm{II}\quad&4,7\frac12,8\frac12\\ \mathrm{III}\quad&7,24,25\\ \mathrm{IV}\quad&3\frac12,4\frac12,5\frac12 \end{aligned} Of these four given triangles, the only right triangles are:

I\mathrm{I} 和 II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II}

I\mathrm{I} 和 III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III}

I\mathrm{I} 和 IV\mathrm{IV}

I\mathrm{I} and IV\mathrm{IV}

I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III\mathrm{III}

I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 IV\mathrm{IV}

I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and IV\mathrm{IV}

答案：D
知识点：勾股定理直角三角形系统列举
难度评级：1180
小提示：

对每个三角形，比较最长边的平方与另外两边平方和

Compare the square of each longest side with the sum of the squares of the other two sides

大提示：

比较前，先消去三角形 II\mathrm{II} 和 IV\mathrm{IV} 边长中的分母

Clear the halves in triangles II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} before comparing

解答：

对于三角形 I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}，相应等式为 32+42=52,42+(152)2=(172)2,72+242=252。 \begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2 \end{aligned}\text{。}对于 IV\mathrm{IV}，(72)2+(92)2=1304,(112)2=1214。 \begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4} \end{aligned}\text{。}两个值并不相等。因此，恰有 I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III} 是直角三角形。

因此，正确答案是 D。

For triangles I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III,\mathrm{III}, the relevant equalities are 32+42=52,42+(152)2=(172)2,72+242=252. \begin{aligned} 3^2+4^2&=5^2,\\ 4^2+\left(\frac{15}{2}\right)^2 &=\left(\frac{17}{2}\right)^2,\\ 7^2+24^2&=25^2. \end{aligned} For IV,\mathrm{IV}, (72)2+(92)2=1304,(112)2=1214. \begin{aligned} \left(\frac72\right)^2+\left(\frac92\right)^2 &=\frac{130}{4},\\ \left(\frac{11}{2}\right)^2&=\frac{121}{4}. \end{aligned} These values are unequal. Thus precisely I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III\mathrm{III} are right triangles.

Therefore, the correct answer is D.

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