1965 AMC 12 第 1 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1965 AMC 12 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

满足方程 $2^{2x^2-7x+5}=1$ 的实数 $x$ 的个数为：

The number of real values of $x$ satisfying the equation $2^{2x^2-7x+5}=1$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

大于 $4$

more than $4$

答案：C

知识点：指数二次方程因式分解

难度评级：1080

小提示：

不等于 $1$ 的正底数只有在指数为 $0$ 时幂值才为 $1$

A positive base other than $1$ has value $1$ only at exponent $0$

大提示：

解方程 $2x^2-7x+5=0$

Solve $2x^2-7x+5=0$

解答：

由于底数为 $2$ ，指数必须为零。因式分解得 $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $x=\frac{5}{2}$ 或 $x=1$ ，共有两个实数解。

因此，正确答案是 C。

Since the base is $2,$ the exponent must be zero. Factoring gives $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0. \end{gathered}$ Thus $x=\frac{5}{2}$ or $x=1,$ giving two real values.

Therefore, the correct answer is C.

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