Question

Considera una sucesión decreciente de $n$ enteros positivos $x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt \cdots \gt x_n$ que satisface las siguientes dos condiciones. El promedio (media aritmética) de los primeros $3$ términos de la sucesión es $2025.$ Para todo $4 \le k \le n,$ el promedio de los primeros $k$ términos de la sucesión es $1$ menos que el promedio de los primeros $k - 1$ términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

Consider a decreasing sequence of $n$ positive integers $x_1 \gt x_2 \gt x_3 \gt \cdots \gt x_n$ that satisfies the following conditions. The average (arithmetic mean) of the first $3$ terms in the sequence is $2025.$ For all $4 \le k \le n,$ the average of the first $k$ terms in the sequence is $1$ less than the average of the first $k - 1$ terms in the sequence.

What is the greatest possible value of $n?$

$1013$

$1014$

$1016$

$2016$

$2025$

Respuesta: B

Conceptos:media sumatoria acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sea $A_k$ el promedio de los primeros $k$ términos. Entonces $A_3 = 2025$ y $A_k = A_{k-1} - 1$ para $k \ge 4,$ así que $A_k = 2028 - k.$ La suma parcial es $S_k = k(2028 - k),$ y para $k \ge 4$ los términos son $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ es decir $x_4 = 2021, x_5 = 2019, \ldots.$ Estos se mantienen positivos mientras $2029 - 2k \gt 0,$ es decir $k \le 1014,$ con $x_{1014} = 1.$ Podemos elegir los primeros tres términos como enteros decrecientes mayores que $(x_1,x_2,x_3) = (2030,2023,2022),$ que suman $6075,$ así que $n = 1014,$ es alcanzable. Por lo tanto, B es la respuesta correcta. $x_4 = 2021.$

Let $A_k$ be the average of the first $k$ terms. Then $A_3 = 2025$ and $A_k = A_{k-1} - 1$ for $k \ge 4,$ so $A_k = 2028 - k.$ The partial sum is $S_k = k(2028 - k),$ and for $k \ge 4$ the terms are $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ namely $x_4 = 2021, x_5 = 2019, \ldots.$ These stay positive as long as $2029 - 2k \gt 0,$ that is $k \le 1014,$ with $x_{1014} = 1.$ This bound is attainable: take $(x_1,x_2,x_3) = (2030,2023,2022),$ which is decreasing, sums to $6075,$ and lies above $x_4 = 2021.$ Thus the greatest possible value is $n = 1014,$ so B is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

El Problema 17 en otros años