Question

Llamamos justo a un entero positivo si ningún dígito se usa más de una vez, no tiene $0$ s, y ningún dígito es adyacente a dos dígitos mayores. Por ejemplo, $23, 196,$ y $12463$ son justos, pero $1546, 320,$ y $34321$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos justos hay?

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $23, 196,$ and $12463$ are fair, but $1546, 320,$ and $34321$ are not fair. How many fair positive integers are there?

$511$

$2{,}584$

$9{,}841$

$17{,}711$

$19{,}682$

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Las cifras de un número justo deben aumentar hasta su cifra mayor $m$ y luego disminuir. En efecto, el primer ascenso después de cualquier descenso comenzaría en una cifra menor que sus dos vecinas. Para $k$ cifras, elegimos el conjunto de cifras entre $1$ y $9$ de $\binom{9}{k}$ maneras. Cada una de las $k-1$ cifras menores que $m$ se coloca independientemente en el lado izquierdo creciente o en el lado derecho decreciente; después, su posición queda determinada. Por tanto, el total es $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

A fair number's digits must increase up to its largest digit $m$ and then decrease. Indeed, the first ascent after any descent would begin at a digit smaller than both of its neighbors. For $k$ digits, choose the digit set from $1$ to $9$ in $\binom{9}{k}$ ways. Each of the $k-1$ digits below $m$ independently goes on the increasing left side or the decreasing right side, after which its position is forced. Hence the total is $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1+2)^9-1\big)$ $= \tfrac{3^9-1}{2}$ $=9841.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 24 en otros años