Question

¿Cuál es el menor valor de $n$ tal que $n!$ sea múltiplo de $2024$ ?

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024?$

$11$

$21$

$22$

$23$

$253$

Respuesta: D

Conceptos:factorial divisibilidad factorización en primos

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Factoriza $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ El primo $23$ es el cuello de botella: para que $23$ divida a $n!,$ necesitamos $n \ge 23.$ En $n = 23,$ el producto $23!$ ya contiene $23,$ $11,$ y muchos factores de $2,$ así que $2024 \mid 23!.$ El menor valor es $23.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Factor $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ The prime $23$ is the bottleneck: for $23$ to divide $n!,$ we need $n \ge 23.$ At $n = 23,$ the product $23!$ already has $23,$ $11,$ and plenty of factors of $2,$ so $2024 \mid 23!.$ The least value is $23.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 5

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El Problema 5 en otros años