2023 AMC 10B Problema 14

Question

¿Cuántos pares ordenados de enteros

(m, n)

satisfacen la siguiente ecuación?

m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?

How many ordered pairs of integers

(m, n)

satisfy the equation

m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2?

7

1

3

6

5

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica acotación a casos límite análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Si

m = 0

entonces

n = 0;

de lo contrario supón

|m| \le |n|

.

If

m = 0

then

n = 0;

otherwise assume

|m| \le |n|

Pista grande:

Entonces

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2

obliga a

m^2 \le 3

.

Then

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2

forces

m^2 \le 3

Solución:

Si

m = 0,

la ecuación fuerza

n^2 = 0,

dando

(0, 0).

De lo contrario ambos son distintos de cero; supón

|m| \le |n|.

Entonces

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,

así que

m^2 \le 3

y

m = \pm 1.

Toma

m = 1:

1 + n + n^2 = n^2

da

n = -1.

Toma

m = -1:

n = 1.

Eso deja

(0,0), (1,-1), (-1,1),

tres en total. Por lo tanto, la respuesta es C.

If

m = 0,

the equation forces

n^2 = 0,

giving

(0, 0).

Otherwise both are nonzero; assume

|m| \le |n|.

Then

m^2 n^2 = m^2 + mn + n^2 \le 3n^2,

so

m^2 \le 3

and

m = \pm 1.

Take

m = 1:

1 + n + n^2 = n^2

gives

n = -1.