Question

¿Cuál es el valor de ? $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

What is the value of $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt{15}$

$4$

$\sqrt{105}$

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Trabajemos primero con el denominador. Usando la diferencia de cuadrados en cada término, obtenemos el denominador como $E.$ $1-1/p^2=(1-1/p)(1+1/p)$ $E=2.$ $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+1/p}{1-1/p}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$

Además, simplificamos el numerador de la siguiente manera: Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene Así, la respuesta es B.

Let the given positive expression be $E.$ Squaring it and using $1-1/p^2=(1-1/p)(1+1/p)$ gives $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+1/p}{1-1/p}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$ Hence $E=2.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 5

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El Problema 5 en otros años