Question

Considera sistemas de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x,$ $y,$ y $z,$ donde cada uno de los coeficientes es $0$ o $1$ y el sistema tiene una solución distinta de $x=y=z=0.$ Por ejemplo, uno de esos sistemas es con una solución no nula de $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ ¿Cuántos de esos sistemas de ecuaciones hay? (Las ecuaciones de un sistema no tienen por qué ser distintas, y dos sistemas que contienen las mismas ecuaciones en distinto orden se consideran diferentes.) $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$

Consider systems of three linear equations with unknowns $x,$ $y,$ and $z,$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ where each of the coefficients is either $0$ or $1$ and the system has a solution other than $x=y=z=0.$ For example, one such system is $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$ with a nonzero solution of $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ How many such systems of equations are there? (The equations in a system need not be distinct, and two systems containing the same equations in a different order are considered different.)

$\ 302$

$\ 338$

$\ 340$

$\ 343$

$\ 344$

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Hay $2^9=512$ matrices binarias ordenadas de coeficientes. Un sistema homogéneo tiene solo la solución nula exactamente cuando sus tres vectores fila son linealmente independientes, así que contamos esas matrices y restamos.

Una matriz independiente debe tener tres filas distintas y no nulas. Hay $7\cdot6\cdot5=210$ elecciones ordenadas de esas filas. Entre tres vectores binarios distintos y no nulos hay dependencia exactamente cuando uno es la suma ordinaria de los otros dos; los dos sumandos deben tener soportes disjuntos y no vacíos.

Si la suma tiene soporte de tamaño $2,$ elegimos sus dos coordenadas de $3$ maneras; los sumandos son los dos vectores unitarios correspondientes. Si la suma tiene soporte de tamaño $3,$ elegimos de $3$ maneras qué coordenada forma un sumando, y las otras dos forman el segundo. Por tanto, hay $3+3=6$ ternas dependientes no ordenadas, cada una con $3!=6$ órdenes de las filas.

Así, el número de matrices independientes es $210-6\cdot6=174.$ El número pedido de matrices singulares, y por tanto de sistemas con una solución no nula, es $512-174=338.$

Así, la respuesta es B.

There are $2^9=512$ ordered binary coefficient matrices. A homogeneous system has only the zero solution exactly when its three row vectors are linearly independent, so we count those matrices and subtract.

An independent matrix must have three distinct nonzero rows. There are $7\cdot6\cdot5=210$ ordered choices of such rows. Among three distinct nonzero binary vectors, dependence occurs exactly when one is the ordinary sum of the other two; the two summands must have disjoint nonempty supports.

If the sum has support of size $2,$ choose its two coordinates in $3$ ways; its summands are the two corresponding unit vectors. If the sum has support of size $3,$ choose which one coordinate forms one summand in $3$ ways, with the other two coordinates forming the other summand. Thus there are $3+3=6$ unordered dependent triples, each with $3!=6$ row orders.

Hence the number of independent matrices is $210-6\cdot6=174.$ The desired number of singular matrices, and therefore of systems with a nonzero solution, is $512-174=338.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

El Problema 18 en otros años