Question

Un tazón se forma uniendo cuatro hexágonos regulares de lado $1$ a un cuadrado de lado $1.$ Las aristas de los hexágonos adyacentes coinciden, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del octágono que se obtiene al unir los ocho vértices superiores de los cuatro hexágonos, situados en el borde del tazón?

A bowl is formed by attaching four regular hexagons of side $1$ to a square of side $1.$ The edges of the adjacent hexagons coincide, as shown in the figure. What is the area of the octagon obtained by joining the top eight vertices of the four hexagons, situated on the rim of the bowl?

$6$

$7$

$5 + 2 \sqrt{2}$

$8$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:Geometría 3D polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Observemos el borde desde arriba. Coloquemos el cuadrado inferior en $(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,0).$ En un hexágono regular, una arista adyacente al lado unido tiene componentes $\tfrac12$ paralela y $\tfrac{\sqrt3}{2}$ perpendicular a ese lado.

En una esquina del cuadrado inferior, las aristas correspondientes de dos hexágonos adyacentes coinciden. Al comparar sus componentes horizontales, vemos que la componente horizontal de un vector unitario perpendicular a un lado unido, dentro de su hexágono, es $1/\sqrt3.$ El lado opuesto de un hexágono regular está a $\sqrt3$ unidades del lado unido, por lo que su desplazamiento horizontal hacia afuera es $1.$

En consecuencia, los cuatro lados unitarios del borde están una unidad más allá de los cuatro lados del cuadrado inferior. Su vista superior es un cuadrado de $3$ por $3$ al que se le quitan cuatro triángulos rectángulos isósceles de cateto $1$ :

Su área es $3^2-4\left(\frac12\cdot1^2\right)=7.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

View the rim from directly above. Place the bottom square at $(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,0).$ In a regular hexagon, an edge adjacent to the attached side has components $\tfrac12$ parallel and $\tfrac{\sqrt3}{2}$ perpendicular to that side.

At a corner of the bottom square, the corresponding edges of two adjacent hexagons coincide. Comparing their horizontal components shows that the horizontal component of a unit vector perpendicular to an attached side within its hexagon is $1/\sqrt3.$ The opposite side of a regular hexagon is $\sqrt3$ units from the attached side, so its horizontal outward displacement is $1.$

Consequently, the four unit-length sides of the rim lie one unit beyond the four sides of the bottom square. Its top view is therefore a $3$ -by- $3$ square with four isosceles right corner triangles of leg $1$ removed:

Its area is $3^2-4\left(\frac12\cdot1^2\right)=7.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El Problema 21 en otros años